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Los matemáticos logran un avance poco común en el infame problema del ‘número de Ramsey’

Una representación visual del teorema de Ramsey para cinco nodos en un gráfico. Aquí, ningún triángulo tiene lados que sean exactamente del mismo color, lo que sugiere que no hay tres grupos que sean todos «amigos» o todos «extraños». (Crédito de la imagen: Richtom80 (CC-BY 3.0) en Wikipedia en inglés)

Los matemáticos han logrado un gran avance en uno de los problemas matemáticos más difíciles: solo el tercer gran avance en 75 años.

El problema involucra números de Ramsey, un concepto engañosamente simple que es matemáticamente inestable. El número de Ramsey es el tamaño mínimo de un grupo necesario para garantizar que una determinada cantidad de nodos del grupo estén conectados entre sí. La analogía más común es la de una fiesta: ¿cuántas personas necesitas invitar a una velada para asegurarte de que haya un grupo de tres que se conocen o un grupo de tres que son completos extraños?

El número de Ramsey para 3 es 6. Para asegurarse de que una fiesta determinada tenga cuatro amigos o cuatro extraños, debe ampliar la lista de invitados a 18. Pero, ¿qué pasa con el número de Ramsey de 5? Todos los matemáticos pueden decir que está entre 43 y 48. A medida que los números aumentan, el problema se vuelve más complicado. Más nodos en la red significan más conexiones posibles y más estructuras gráficas resultantes posibles.

«Hay tantas posibilidades, ni siquiera puedes usar la fuerza bruta», dijo Marcelo Campos. (se abre en una nueva pestaña)coautor del estudio como parte de su doctorado en el Instituto Brasileño de Matemática Pura y Aplicada (IMPA).

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El renombrado matemático Paul Erdös dijo una vez que si los extraterrestres aterrizaran en la Tierra y exigieran un número de Ramsey exacto de 5 o destruirían el planeta, la humanidad debería desviar todos sus recursos informáticos para averiguarlo. Pero si exigen un conteo de Ramsey de 6, los humanos deberían estar listos para la guerra.

Los matemáticos pueden dar un rango para cualquier número de Ramsey dado. En 1935, Erdös calculó que el mayor número de Ramsey para un número dado N es 4 elevado a la N-ésima potencia. En 1947, calculó que el límite inferior es la raíz cuadrada de 2 elevado a la N-ésima potencia. El rango es amplio, pero entre estos límites superior e inferior, los investigadores han estado tratando de cerrar la brecha durante décadas.

«Esencialmente, la línea se queda ahí», dice David Conlon. (se abre en una nueva pestaña)profesor de matemáticas en Caltech, no participó en la investigación actual.

Pero ahora, Campos y sus colegas han hecho progresos en el límite superior: ahora pueden decir que el número de Ramsey máximo para una red determinada es 3,993 elevado a la enésima potencia, en lugar de 4 elevado a la enésima potencia.

Puede que no parezca una gran diferencia, dijo Campos a OkNoticias, pero es el primer paso hacia un límite superior desde 1935. Él y su equipo demostraron esto al desarrollar un nuevo algoritmo que busca ciertas subestructuras en gráficos de nodos llamados «libros», que luego les ayudan a encontrar los grupos o «camarillas» de nodos conectados que estaban buscando.

«Lo que hicieron fue encontrar una forma más eficiente de estructurar estos libros», dijo Conlon a WordsSideKick.com.

Los números de Ramsey no tienen una aplicación específica en el mundo real, están en el ámbito de las matemáticas puras. Pero los esfuerzos por precisarlos han tenido ramificaciones en el mundo real. Por ejemplo, dijo Campos, en la década de 1980, los matemáticos exploraron la teoría de Ramsey con un concepto llamado cuasi-aleatoriedad, que involucra grupos con ciertas propiedades matemáticas. La cuasi-aleatoria ahora juega un papel importante en las ciencias de la computación, dijo Campos.

«De alguna manera, la pregunta en sí se ha vuelto muy productiva», dijo Conlon.

El nuevo método puede ser más riguroso que lo que Campos y su equipo demuestran en un nuevo artículo que enviaron a la base de datos de preimpresión arXiv. (se abre en una nueva pestaña) 16 de marzo. Campos y su equipo planean investigar más a fondo el método y esperan que otros investigadores se basen en su trabajo.

«No creo que 3.99 sea realmente la línea de meta», dijo Campos.

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